《線性代數》課程教學大綱（中德班）
課程代碼：[A301011]
課程名稱：線性代數（Linear algebra）
學分/總學時：2學分/32學時（ 講課學時：32 ）
課程類别：公共基礎課
開課學期：一/二
适用專業：本科各專業
後續課程：專業課
課程負責人：郁大剛
一．課程目标
本課程是理、工、經、管各專業必修的一門基礎理論課程。它以矩陣和向量為主要工具，讨論有限維空間的線性理論和方法。随着科學技術數學化和計算機的廣泛應用，線性代數已成為現代科技和經濟管理等各個領域中重要的思想方法和分析、計算工具。
本課程的目的是培養學生掌握線性代數的基本理論和基本方法，用矩陣方法處理有關問題的能力，為學習後繼課程和進一步擴大數學知識面打下必要的基礎。具體目标如下：
行列式與矩陣運算
了解行列式的定義，掌握行列式的性質，并正确使用它們計算行列式。理解
矩陣（及n維向量）的概念，熟練掌握加法、數乘、乘法及轉置的運算規則，了解零矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣的特點和性質。理解矩陣可逆的定義、充要條件，掌握逆矩陣的性質及逆矩陣與伴随矩陣的關系，了解Cramer法則。了解分塊矩陣及其運算，掌握分塊對角陣的運算。
矩陣的相抵與線性方程組
理解階梯陣和行最簡形矩陣的特點，掌握化矩陣為階梯陣和行最簡形矩陣的方法。了解矩陣的秩的概念，掌握其求法;了解矩陣的初等變換，知道矩陣的相抵（等價）和相抵标準形的概念;了解初等矩陣的定義和性質，掌握用初等變換求逆矩陣的方法；了解矩陣可逆的各種充要條件。
理解線性方程組有解的充要條件和齊次線性方程組有非零解的充要條件。理解線性相關、線性無關以及線性表示、等價的定義及有關重要結論；理解向量組的極大無關組和秩的概念，掌握利用行初等變換求解極大無關組和秩的方法。理解線性方程組基礎解系的定義和解的結構，理解非齊次線性方程組解的結構，掌握利用行初等變換求結構式通解的方法。
了解n維向量空間、基、維數、坐标等概念；知道ｎ維實向量的内積、正交
和正交向量組的概念和Schmidt正交化單位化方法；理解正交矩陣的定義，判别正交矩陣的充要條件。
矩陣的相似對角化與實二次型
理解矩陣特征值和特征向量的定義，了解有關性質，熟練掌握其求法；了解相似矩陣的概念、性質及矩陣與對角矩陣相似的充要條件和充分條件。了解實對稱矩陣特征值、特征向量的性質；掌握實對稱矩陣正交相似對角化的計算。理解實二次型的矩陣表示；熟練掌握用正交變換化簡實二次型的方法；了解用初等變換法（或配方法）求可逆線性變換化簡實二次型的方法。了解慣性定理及規範形的概念；知道實二次型或實對稱矩陣正定、負定等的定義及其判别方法。
二．課程目标與教學内容和教學環節的關系
序号 | 課程目标 | 教學内容 | 教學環節 | |||
課堂教學 | 作業 | 實驗 | 上機 | |||
1 | 行列式與矩陣運算 | 二階與三階行列式、n階行列式的定義、行列式的性質與計算、矩陣的基本概念、矩陣的運算、逆矩陣、分塊矩陣及其運算、 | + | + | ||
2 | 矩陣的相抵與線性方程組 | 矩陣的秩與矩陣的初等變換、初等變換求逆矩陣、線性方程組有解的判定與求解、向量組的極大無關組與秩、線性方程組的解的性質與解的結構 | + | + | ||
3 | 矩陣的相似對角化與實二次型 | 矩陣的特征值與特征向量、相似矩陣與矩陣的相似對角化、實對稱矩陣的相似對角化、化二次型為标準形，二次型的正定性的判定 | + | + | ||
三、課程内容與學時分配
教學内容 | 講 課 | 備注 |
行列式與矩陣運算 | 10 | |
矩陣的相抵與線性方程組 | 14 | |
矩陣的相似對角化與實二次型 | 8 | |
合計 | 32 |
四、教學方法
1、課堂授課時，采用多媒體教學與闆書相結合的方式，便于學生理解與接受。練習課時，采取以學生練習為主，老師講解為輔的方式，達到學生通過練習真正掌握知識點的目的。
2、充分利用網絡交流實時強性的優點，開展網上答疑與輔導，提高教學效率。
3、注重教與學的互動，采用課後作業、作業反饋、不定期的課堂作業等多種方式了解學生的學習效果。
五、考核方式與成績評定
課程的考核以考核學生對課程目标的達成為主要目的，以檢查學生對教學内容的掌握程度為重要内容。課程成績包括2個部分，分為平時成績和期末成績。
成績評定方式如下表所示：
1．考核環節及要求、成績比例
考核環節 | 分值 | 考核/評價細則 |
平時成績 | 30 | 根據全部作業的得分再按30%計入總成績 |
期末成績 | 70 | 以卷面成績的70%計入總成績 |
2. 課程目标與課程考核環節的關系
序 号 | 課程目标 | 考核環節 | |
作業（ %） | 期末考試（ %） | ||
1 | 行列式與矩陣運算 | 30% | 30% |
2 | 矩陣的相抵與線性方程組 | 40% | 45% |
3 | 矩陣的相似對角化與實二次型 | 30% | 25% |
合計 | 100% | 100% | |
六、建議教材與教學參考書
《線性代數》 郁大剛主編 科學出版社 2016
《線性代數》 同濟大學數學系編 高等教育出版社 2014 第六版
附件
作業評分标準表
考核内容 | A（90-100） | B（80-89） | C（70-79） | D（60-69） | E（<60） |
知識及概念 掌握程度 (權重 30%) | 知識及概念掌握全面，運用得當 | 知識及概念掌握較全面，能正确運用 | 知識及概念掌握較全面，能夠運用，但沒有考慮約束條件 | 知識及概念掌握程度一般，并不能正确運用 | 沒有掌握知識及概念，不會運用公式 |
解題過程的 正确性、完 整性 (權重 70%) | 解題過程正确、完整，邏輯性強，答案正确率超過 90%，書寫清晰 | 解題過程較正确、完整，邏輯性較強，答案正确率超過80%，書寫清晰 | 解題過程基本正确、完整，答案正确率超過70% | 解題過程中存在錯誤，答案正确率超過 60% | 解題過程錯誤且不完整，答案正确率低于60% |
二、 課程試卷設計方案
序号 | 課程目标 | 考察點及占比（期末考試） | 備注 |
1 | 行列式與矩陣運算 | 二階與三階行列式的計算，n階行列式的計算，矩陣的乘法運算，求逆矩陣，分塊矩陣及其運算 | 題型：填空題、選擇題、計算題、證明題 難度分為：容易、中等偏易、中等偏難 三個等次，其比例構成近似為 30：40： 30 |
2 | 矩陣的相抵與線性方程組 | 向量的線性相關性，極大線性無關組、線性方程組解的存在性的判斷與求解，矩陣的秩，矩陣的相抵，矩陣的初等變換求逆矩陣，向量内積、正交、模、夾角，正交變換 | 題型：填空題、選擇題、計算題、證明題 難度分為：容易、中等偏易、中等偏難 三個等次，其比例構成近似為 30：40： 30 |
3 | 矩陣的相似對角化與實二次型 | 矩陣的特征值與特征向量，矩陣的相似對角化，二次型的标準型、規範型，慣性定理 | 題型：填空題、選擇題、計算題、證明題 難度分為：容易、中等偏易、中等偏難 三個等次，其比例構成近似為30：40： 30 |
執筆：俞美華 審核：郁大剛
2021.3.8